Random Variates

• Random Variates

Random variate adalah variabel yang dihasilkan dari nomor pseudorandom terdistribusi secara merata. Tergantung pada bagaimana mereka dihasilkan, sebuah random variate bisa terdistribusi secara seragam atau tidak seragam. Random variate digunakan sebagai masukan untuk model simulasi. (Neelamkavil 1987, hal. 119).

Ada lima pendekatan umum untuk menghasilkan RV univariat dari distribusi:
– Inverse transform
– Composition
– Convolution
– Acceptance-rejection
– Special properties

• Inverse Transforms Method

Metode inverse transforms dapat digunakan untuk menghasilkan angka acak dari distribusi probabilitas kontinyu atau diskrit. Dengan melewati angka acak pada interval satuan melalui kebalikan dari fungsi distribusi kumulatif (CDF), sampel dari variabel acak diatur oleh CDF yang didapatkan. Setiap output dkumpulkan dalam wadah sebuah histogram yang berkembang. Dengan beberapa contoh, dapat diperoleh perkiraan fungsi kepadatan probabilitas(PDF) yang berhubungan dengan variabel acak yang diberikan.

Contoh

Inverse transform method dapat digunakan dalam praktek selama bisa mendapatkan formula yang jelas untuk F^-1(y) dalam bentuk tertutup. Digunakan notasi U ~ unif(0,1) untuk menunjukkan bahwa U adalah rv dengan distribusi seragam kontinyu selama interval (0,1).

1. Distribusi Eksponensial : F(x) = 1 – e^-λx, x        > 0, dimana λ > 0 adalah konstan. Menyelesaikan persamaan y = 1 – e^-λx untuk x pada terms y ϵ (0,1) hasil x = F^-1(y) =  – (1/λ) ln (1 – y).Hasil ini X = – (1/λ) ln (1 – U). Tetapi (seperti yang mudah diperiksa) 1 – U ~ unif(0,1) selama U ~ unif(0,1) dan dengan demikian dapat disederhanakan algoritma dengan mengganti 1 – U oleh U :

Algoritma untuk menghasilkan suatu rv eksponensial pada tingkat λ :

1. Generate U ~ unif(0,1).
2. Set X =  –  ln (U).

 

• Metode Rejection

Metode Rejection ini merupakan metode pembangkitan bilangan acak yang secara langsung memanfaatkan fungsi ditsribusi bilangan acak f(a). Bila bilangan acak yang dibangkitkan berada pada daerah fungsi f(a) maka a diterima dan bila tidak, maka a ditolak. Metode ini sangat sederhana tetapi untuk membangkitkan banyak bilangan acak diperlukan waktu yang cukup lama.

Algoritma metode rejection:

1. Bangkitkan 2 bilangan acak berditribusi uniform x dan y dengan [0,1].
2. Bila y<f(x) maka x diterima dan bila tidak x ditolak.

Contoh

Bangkitkan 10 bilangan acak berdistribusi Poisson :

Dimana m adalah nilai rata-rata.

Hasil dari pembangkitkan bilangan acak berdistribusi poisson dengan rata-rata 2 untuk a=[0,10] menggunakan metode rejection adalah sebagai berikut:

 x  y  f(x)                                               x  y  f(x)

 8  3  0.00 ditolak                               3  9  0.18 ditolak

 1  4  0.27 ditolak                               7  0  0.00 diterima

 3 10  0.18 ditolak                             7  0  0.00 diterima

 2  1  0.27 diterima                           3  8  0.18 ditolak

 7  6  0.00 ditolak                               0  9  0.14 ditolak

 2  5  0.27 ditolak                               0  7  0.14 ditolak

 4  8  0.09 ditolak                               4  9  0.09 ditolak

 4  4  0.09 ditolak                               0 10  0.14 ditolak

 10  5  0.00 ditolak                             6  5  0.01 ditolak

 10  0  0.00 diterima                         2  3  0.27 ditolak

 

Dari hasil di atas terlihat bahwa untuk membangkitkan 10 bilangan acak, diperlukan 97 kali percobaan, ini menunjukkan bahwa metode ini tidak terlalu cepat untuk membangkitkan suatu bilangan acak. Tetapi metode ini memang sangat mudah diimplementasikan karena tidak berurusan dengan inversi dari fungsi distribusi f(a) yang terkadang cukup rumit.

Metode rejection ini merupakan suatu metode pem-bangkitan bilangan acak yang banyak dibicarakan, meskipun tidak terlalu cepat ternyata membawa implikasi yang menarik yang akan mengantarkan ke arah pencarian acak (random walk) yang sangat terkenal.

• Metode Komposisi

 1. dapat digunakan jika CDF F (x) = jumlah n CDF lainnya.

 

 

2.  dan  Fi‘s adalah fungsi distribusi.

3. n CDF tersusun bersama untuk membentuk CDF Hence yang diinginkan

4. CDF yang diinginkan didekomposisi menjadi beberapa CDF lainnya ⇒ Juga disebut dekomposisi.

5. Bisa juga digunakan jika pdf f (x) adalah jumlah n pdf lainnya :

 

langkah-langkah:

1. Membangkitkan bilangan bulat I acak sehingga:

P ( I = i) = p_i

2. Hal ini dapat dengan mudah dilakukan dengan menggunakanMetode inversetransformation.

3. Membangkitkan x dengan i pdf  fi (x)

 

pdf: 

4. Komposisi dari dua eksponensial pdf

5. Membangkitkan

u1 ~ U(0,1)

u2 ~ U(0,1)

 

5. Jika u1 <0,5, mengembalikan;

sebaliknya mengembalikan

x = a ln u2.

6. ransformasi Inverse baik untuk Laplace

Sumber : http://www.cse.wustl.edu/~jain/cse567-08/ftp/k_28rvg.pdf