PENGGUNAAN DISTRIBUSI DALAM PEMODELAN DAN SIMULASI

by itsnaalfinnur · 10/February/2015

1. Alasan kebutuhan penggunaan distribusi dalam pemodelan dan simulasi

Alasan kebutuhan penggunaan distribusi dalam pemodelan dan simulasi disebabkan adanya ketidakpastian input yang terdapat dalam suatu kasus. Ketidakpastian input tersebut dapat ditentukan dengan mengambil data secara acak atau random. Misalnya dalam kasus single server kedatangan pesawat, kedatangan pesawat tidak dapat diprediksi maka digunakan distribusi.

Penggunaan distribusi diperlukan karena dapat membantu dalam melakukan beberapa hal dalam suatu kasus yaitu:

Penentuan ukuran sampel
Penentuan jumlah trial yang tidak diperlukan
Analisa output hasil simulasi
Validasi output model

2. Jenis-jenis Distribusi

Distribusi Diskrit

Binomial
Poisson
Bernoulli
Geometric
Negative Binomial
Discrete Uniform

Distribusi Kontinu

Gauss
Uniform
Exponential
Gamma
Weibull
m-Erlang

Distribusi Binomial

Disebut pula distribusi Bernoulli ditemukan oleh James Bernoulli adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan variabel random diskrit(variabel yang hanya memiliki nilai tertentu, nilainya merupakan bilangan bulat dan asli tidak berbentuk pecahan) yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplementer seperti sukses-gagal, baik-cacat, siang-malam, dan sebagainya.

Syarat-syarat Distribusi Binomial :

Jumlah percobaan merupakan bilangan bulat, contohnya suatu percobaan melambungkan koin sebanyak 3 kali, bukan 3 setengah kali.
Sebuah percobaan mempunyai dua outcome atau hasil, contohnya sukses atau gagal, sakit atau sehat, hidup atau mati, dan sebagainya.
Peluang sukses sama pada setiap percobaannya.

Ciri-ciri Distribusi Binomial :

Setiap percobaan hanya mempunyai 2 (dua) kemungkinan hasil: sukses (hasil yang dikehendaki) dan gagal (hasil yang tidak dikehendaki).
Setiap percobaan bersifat independen atau dengan pengembalian.
Probabilitas sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p. Sedangkan probabilitas gagal dinyatakan dengan q, dan jumlah p dan q harus sama dengan satu.
Jumlah percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya.

Grafik dari fungsi peluang distribusi binomial :

Rumus Distribusi Binomial

Keterangan :

n = banyaknya percobaan

x = banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x

p = peluang berhasil dalam setiap percobaan

q = peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap percobaan

Mean (µ)

E(X) = np

Varian

Var(X) = np (1 – p)

Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan suatu alat statistik yang sangat penting untuk menaksir dan meramalkan peristiwa-peristiwa yang lebih luas. Distribusi normal disebut juga dengan distribusi Gauss untuk menghormati Gauss sebagai penemu persamaannya (1777-1855). Menurut pandangan ahli statistik, distribusi variabel pada populasi mengikuti distribusi normal. Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham DeMoivre (1733) sebagai pendekatan distribusi binomial untuk n besar. Selanjutnya dikembangkan oleh Pierre Simon de Laplace dan dikenal dengan Teorema Moivre – Laplace. Suatu data membentuk distribusi normal jika jumlah data di atas dan di bawah mean adalah sama. Grafiknya disebut kurva normal, oleh Jouffret (1872) disebut kurva lonceng/genta (bell curve).
Alasan lain yang mendasari pentingnya Distribusi Normal adalah ‘Central Limit Theorem’ yang menyebutkan bahwa , pengambilan sampel secara random dari sebuah distribusi ( tanpa menghiraukan jenis distribusinya ) maka distribusi dari sampel x akan mendekati distribusi normal, dan makin besar jumlah sampelnya distribusi akan makin mendekati distribusi normal.

Sifat-Sifat Distribusi Normal :

Rata-ratanya (mean) μ dan standard deviasinya = σ
Mode (maximum) terjadidi x = μ
Bentuknya simetrik terhadap x =μ
Titik belok tepat di x = μ ± σ
Kurva mendekati nol secara asimptotis semakin x jauh dari x= μ
Total luasnya = 1

Karakteristik :

Suatu distribusi data dikatakan berdistribusi normal apabila data berdistribusi simetris, yaitu bila nilai rata-rata, median dan modus sama. Karakteristik distribusi normal antara lain:

Grafiknya akan selalu di atas sumbu datar x
Bentuknya simetris terhadap x =µ.
Mempunyai satu modus (unimodal)
Grafiknya mendekati (berasimptot) sumbu datar x
Luas daerah grafik selalu sama dengan satu satuan unit persegi

Bentuk kurva yang tidak memiliki kriteria di atas dikenal dengan distribusi tidak simetris (distribusi menceng kekiri atau kekanan). Daerah kurva normal merupakan ruangan yang dibatasi daerah kurva dengan absisnya (sumbu alas). Luas daerah biasanya dinyatakan dalam persen atau proporsi.

Distribusi normal dipengaruhi oleh dua parameter, yaitu mean dan standar deviasi. Mean menentukan lokasi pusat statistik dan standar deviasi menentukan lebar dari kurva normal.

Rumus umum distribusi normal :

Keterangan:
x = peubah acak kontinu
µ = rataan
σ = simpangan baku
π = 3,14258
e = 271828

Mean :
E(X) = µ

Varian :
Var(X) = σ2

3. Analisis Jenis Distribusi

Dataset yang di analisis -> [Dataset]

Analisis data dilakukan dengan menggunakan tool/software EasyFit. Cara menggunakan EasyFit :

Jalankan EasyFit

Klik Tollbar open, pilih file yang ingin di import -> open -> ok

Klik toolbar fit distribution, lalu pilih discrete atau continue

Amati graph dan Goodness of fit untuk menentukan jenis distribusi

Hasil Analisis :

a : Poisson

b :Johnson SB

c :Kumaraswamy

d : Binomial

e: D. Uniform

f: Gen. Gamma

Contoh Kasus

Distribusi Uniform

Sebuah dadu seimbang dilemparkan satu kali, maka tiap unsur dalam ruang sampel S={1, 2,3 4, 5, 6}. Muncul dengan probabilitas 1/6. Jadi jika X menyatakan mata dadu yang muncul, maka X terdistribusi peluang seragam (uniform) yakni f(x;6)=1/6, untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Distribusi Binomial

Kepala bagian produksi PT. MITHOSIBA melaporkan bahwa rata-rata produksi televisi yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak sebanyak 4 buah televisi, berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2 ? Jawaban: Diketahui : p (rusak) = 0,15; q (baik) = 0,85; n = 4 Ditanyakan: perhitungan dengan probabilitas 2 (p(x)=2) ?
Jawab:

Analisis:
Dengan jumlah 0,0975 atau 9,75% dari sampel acak sebanyak 4 buah televisi dan rata-rata produk rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15%, dapat dikatakan kecil. Namun pada kenyataannya, meskipun dilihat secara persentase kecil (hanya 9,75%) yang namanya produk rusak harus tetap dikurangi atau bahkan dihilangkan untuk mengurangi kerugian.

Distribusi Poisson

Pada tahun 2012, sebuah kota di pedalaman Watampone, diperoleh data bahwa rata-rata terdapat 2,5 orang albino per 175 orang. 525 orang diambil sebagai sampel percobaan. Dengan menggunakan pendekatan Possion, tentukanlah peluang:

a. Didapat tidak ada yang albino.
b. Terdapat ada albino.

Penyelesaian :